Non-linear isotropic elastic solid constitutive equations

Abstract

The objective of this paper is to explain how to derive a non-linear isotropic elastic solid constitutive equation.  A constitutive equation is a relation of stress and strain of a material.  Of course for most of material behaviors, at small strain, stress is linearly dependent on strain, however, at finite strain, the relationship of the stress and strain is highly non-linear.  In this paper, non-linear constitute equations for isotropic elastic solid such as steels and metals, and hyperelastic materials such as elastomers and rubbers are derived from Green strain tensors, .  The Green strain tensors  is a frame independent or objective tensor which is required to construct the constitutive equations for finite strain.  Last, Mooney-Rivlin and Neo-Hookean hyperelastic rubbers are discussed.

Keyword: Non-linear isotropic elastic solid, Constitutive equation, Hyperelastic material, Mooney-Rivlin hyperelastic rubber.

บทคัดย่อ

สมการแสดงพฤติกรรมของวัสดุเป็นสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดของวัตถุในช่วงเวลาที่สนใจโดยที่ความเค้นจะทำให้วัตถุเกิดการเสียรูปอย่างถาวรทำให้เกิดเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น สมการแสดงพฤติกรรมของวัสดุในบทความนี้ใช้ได้กับวัสดุยืดหยุ่น (Elastic solid) เช่น เหล็กเหนียวและวัสดุกลุ่มโลหะครอบคลุมทั้งช่วงพลาสติก (Plastic deformation) ที่ไม่เป็นเชิงเส้นและช่วงที่เป็นเชิงเส้น พลาสติกเหนียวบางชนิด เช่น พลาสติกที่เป็นผลึกบางส่วน (Semi crystalline polymers) และวัสดุไฮเปอร์อิลาสติก (Hyperelastic) เช่นอิลาสโตเมอร์หรือยางคงรูป (Elastomer or rubber) โดยสมการแสดงพฤติกรรมของวัสดุที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะต้องไม่ขึ้นอยู่กับผู้สังเกตการณ์ (Frame independent or objective) ช่วงท้ายของบทความได้แสดงที่มาของสมการแสดงพฤติกรรมของวัสดุไฮเปอร์อิลาสติกที่มีสมบัติเหมือนกันทุกทิศทุกทาง เช่น สมการของยางคงรูปมูนนี่-ริฟลิน (Mooney-Rivlin hyperelastic rubber) และสมการยางคงรูปนีโอ-ฮุกเกียนต์ (Neo-Hookean hyperelastic rubber) ที่เป็นสมการระหว่างเทนเซอร์ความเค้นควอซี่  และเทนเซอร์ความเครียดของกรีน

 คำสำคัญ: วัสดุแข็งยืดหยุ่นเนื้อเดียวไม่เป็นเชิงเส้น สมการแสดงพฤติกรรมของวัสดุ วัสดุไฮเปอร์อิลาสติก ยางคงรูปมูนนี่ริฟ-ลิน