เกมย้าย (k,m)-หมาก เมื่อ (k,m)∈{(1,2n+1),(2,2n+8),(3,4n+5),(3,4n+7)}

บทคัดย่อ

ให้ m และ k เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ m≥k เกมย้าย (k,m)-หมาก เป็นเกมสำหรับผู้เล่น 1 คน โดยมีหมาก 2 สี เป็นจำนวน m-k ตัว แต่ละสีจะมีจำนวนเท่ากัน บนกระดานขนาด 1×m เมื่อเริ่มต้นเกม จะวางหมากสีที่หนึ่งจากช่องทางขวามือไปช่องทางซ้ายมือเรื่อย ๆ จนครบแล้วตามด้วยหมากสีที่สองจนครบทุกตัว ผู้เล่นจะต้องย้ายหมากทีละ k ตัวที่อยู่ติดกันไปวางที่ช่องว่างเรื่อย ๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นหมากที่สลับสีกันตั้งแต่ช่องแรกทางซ้ายมือเป็นต้นไป จากการศึกษาเกมดังกล่าว สามารถคำนวณจำนวนครั้งที่น้อยที่สุดในการย้ายหมากภายใต้กฎกติกาได้ดังนี้ ให้ n≥1 เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า 1) เมื่อ (k,m)=(1,2n+1) จะย้ายหมากเพียง 2n-2⌊n/2⌋ ครั้ง 2) เมื่อ (k,m)=(2,2n+8) จะย้ายหมากเพียง 2n+3 ครั้ง 3) เมื่อ (k,m)=(3,4n+5) จะย้ายหมากเพียง 4n-1 ครั้ง และ 4) เมื่อ (k,m)=(3,4n+7) จะย้ายหมากเพียง 4n+2 ครั้ง